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| == Allgemeines zur Fouriertransformation == | | == Allgemeines zur Fouriertransformation == |
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− | # Für die Autoren: # | + | # Für die Autoren: # |
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− | # # | + | # # |
− | # Fourierzeichen: {\circ\!\!-\!\!\bullet} # | + | # Fourierzeichen: {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} # |
− | # # | + | # # |
− | # Schlange: \overset{\sim}{f} # | + | # Schlange: \overset{\sim}{f} # |
− | # # | + | # # |
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| * periodisches Signal: diskrete Verteilung der Signalenergie über der Frequenz (Fourierreihe) | | * periodisches Signal: diskrete Verteilung der Signalenergie über der Frequenz (Fourierreihe) |
| * aperiodisches Signal: kontinuirliches Frequenzspektrum (Fourierintegral) | | * aperiodisches Signal: kontinuirliches Frequenzspektrum (Fourierintegral) |
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| === 2-Dimensional === | | === 2-Dimensional === |
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− | <math>f(x,y) {\circ\!\!-\!\!\bullet} \overset{\sim}{f} (k_x, k_y)</math> | + | <math>f(x,y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{f} (k_x, k_y)</math> |
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− | <math>\overset{\sim}{f} (k_x, k_y) {\circ\!\!-\!\!\bullet} \overset{\sim}{F} [f(x,y)]</math> | + | <math>\overset{\sim}{f} (k_x, k_y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{F} [f(x,y)]</math> |
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| ==== Fourierreihe ==== | | ==== Fourierreihe ==== |
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| === Eigenschaften der Fouriertransformation === | | === Eigenschaften der Fouriertransformation === |
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| + | jegliche Herleitungen zu diesem Abschnitt sind in der Vorlesung oder im Skript zu finden |
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| + | '''Linearität:''' |
| + | :* es gilt das Superpositionsprinzip |
| + | :* daraus ergibt sich das nur lineare Zusammenhänge beschreibbar sind |
| + | : <math> f(x,y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{f} (k_x , k_y) </math> |
| + | : <math> g(x,y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{g} (k_x , k_y) </math> |
| + | : <math> c_1 \cdot f(x,y) + c_2 \cdot g(x,y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} c_1 \cdot \overset{\sim}{f} (k_x , k_y) + c_2 \cdot \overset{\sim}{g} (k_x , k_y) </math> |
| + | |
| + | '''Faltung:''' |
| + | : <math> h(x,y) = f(x,y) \otimes g(x,y) </math> |
| + | : <math> \overset{\sim}{h} (k_x , k_y) = \overset{\sim}{f} (k_x , k_y) \cdot \overset{\sim}{g} (k_x , k_y) </math> |
| + | |
| + | '''Verschiebung:''' |
| + | : <math> f(x + \Delta x , y + \Delta y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{f} (k_x , k_y) \cdot e^{j 2 \pi (\Delta x k_x + \Delta y k_y)} </math> |
| + | : <math> \overset{\sim}{f} (k_x + \Delta k_x , k_y + \Delta k_y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} f (x , y) \cdot e^{j 2 \pi (\Delta k_x x + \Delta k_y y)} </math> |
| + | |
| + | '''Drehung:''' |
| + | :* Drehe ich das Signal im Zeitbereich, dreht sich in gleicher Weise das Spektrum mit |
| + | : <math> f'(x,y) = f(x',y') = f(x \cdot \cos \alpha + y \cdot \sin \alpha , -x \cdot \sin \alpha + y \cdot \cos \alpha) </math> |
| + | : <math> \overset{\sim}{f'}(k_x,k_y) = \overset{\sim}{f}(k_x',k_y') = \overset{\sim}{f}(k_x \cdot \cos \alpha + k_y \cdot \sin \alpha , -k_x \cdot \sin \alpha + k_y \cdot \cos \alpha) </math> |
| + | |
| + | '''Ähnlichkeit:''' |
| + | : <math> f(ax,by) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \frac{1}{|a \cdot b|} \cdot \overset{\sim}{f} \left( \frac{k_x}{a} , \frac{k_y}{b} \right) </math> |
| + | |
| + | '''Parselval'sches Theorem:''' |
| + | : <math> \int \int |f(x,y)|^2 dx dy = \int \int | \overset{\sim}{f} (k_x,k_y)|^2 dk_x dk_Y </math> |
| + | |
| + | '''Separierbarkeit:''' |
| + | :* wenn sich eine Funktion in ihren Abhängigkeiten separieren lässt, kann die Transformierte ebenfalls separat ermittelt werden |
| + | : <math> f(x,y) = f_1(x) \cdot f_2(y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{f_1} (k_x) \dot \overset{\sim}{f_2} (k_y)</math> |
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| == 1. Aufgabe == | | == 1. Aufgabe == |