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| == 6. Aufgabe == | | == 6. Aufgabe == |
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| + | # Für die Autoren: # |
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| + | # # |
| + | # Fourierzeichen: {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} # |
| + | # # |
| + | # Schlange: \overset{\sim}{f} # |
| + | # # |
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| :'''Wie kann man ein Sechseckabtastraster systemtheoretisch beschreiben?''' | | :'''Wie kann man ein Sechseckabtastraster systemtheoretisch beschreiben?''' |
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| + | // Bild |
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| + | :* <math> f(x,y) \otimes f_{AP} (x,y) \cdot \text{Abtastgitter} {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{f} (k_x , k_y) \cdot \overset{\sim}{f_{AP}} (k_x , k_y) \otimes \overset{\sim}{f} (\text{Abtastgitter}) </math> |
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| + | :* Abtastgitter wird im folgenden mit AG abgekürzt |
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| + | :* <math> \begin{align} |
| + | AG & = AG_1 + AG_2 \\ |
| + | & = \sum_i \sum_j \delta (x+i2 \sqrt{3} , y + j2) + \sum_i \sum_j \delta (x+i2 \sqrt{3} + \sqrt{3} , y + j2 + 1) |
| + | \end{align} |
| + | </math> |
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| + | :* <math> AG {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{f} (AG) </math> |
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| + | :* <math> \begin{align} |
| + | \overset{\sim}{f}(AG) & = \sum_i \sum_j \delta \left( k_x + i \frac{1}{2 \sqrt{3}} , k_y + \frac{j}{2} \right) + \sum_i \sum_j \delta \left( k_x + i \frac{1}{2 \sqrt{3}} , k_y + \frac{j}{2} \right) \cdot e^{j 2 \pi (k_x \sqrt{3} + k_y 1)} \\ |
| + | & = \sum_i \sum_j \delta \left( k_x + i \frac{1}{2 \sqrt{3}} , k_y + \frac{j}{2} \right) \cdot \left( 1+e^{j2\pi (k_x \sqrt{3} + k_y} \right) |
| + | \end{align} |
| + | </math> |
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| + | :* mit <math> k_x = \frac{i}{2 \sqrt{3}} </math> und <math> k_y = \frac{j}{2} </math> ergibt sich: |
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| + | :: <math> 1 + e^{j2 \pi \left( \frac{i}{2 \sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} + \frac{j}{2} \right)} = 1 + e^{j \pi (i+j)} </math> |
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| == 7. Aufgabe == | | == 7. Aufgabe == |