2D-Systemtheorie

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Anmerkung: Er meinte ja das dies nur eine Auswahl alter Fragen ist, und wir mehr behandelt haben, deswegen stehen ab und zu mal noch ein paar ausgedachte Fragen. ^^

Grundlagen Fouriertransformation, Abtastung

Allgemeines zur Fouriertransformation

  • periodisches Signal: diskrete Verteilung der Signalenergie über der Frequenz (Fourierreihe)
  • aperiodisches Signal: kontinuirliches Frequenzspektrum (Fourierintegral)

1-Dimensional

Fourierreihe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t) = \sum_n C_n \cdot e^{j n \omega_0 t} }

Fourierintegral

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t) = \int C(\omega) \cdot e^{j \omega t} d \omega }

Rücktransformation:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(\omega) = \frac{1}{2 \pi} \int f(t) \cdot e^{-j \omega t} dt }

2-Dimensional

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x,y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{f} (k_x, k_y)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overset{\sim}{f} (k_x, k_y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{F} [f(x,y)]}

Fourierreihe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x,y) = \sum \sum \overset{\sim}{f} (ik_x, jk_y) \cdot e^{j 2 \pi (ik_{x_0} x + jk_{y_0} y)} }

Fourierintegral

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x,y) = \int \int \overset{\sim}{f} (k_x , k_y) \cdot e^{j 2 \pi (k_x x + k_y y)} dk_x d_ky }

Eigenschaften der Fouriertransformation

jegliche Herleitungen zu diesem Abschnitt sind in der Vorlesung oder im Skript zu finden

Linearität:

  • es gilt das Superpositionsprinzip
  • daraus ergibt sich das nur lineare Zusammenhänge beschreibbar sind
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x,y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{f} (k_x , k_y) }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x,y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{g} (k_x , k_y) }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_1 \cdot f(x,y) + c_2 \cdot g(x,y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} c_1 \cdot \overset{\sim}{f} (k_x , k_y) + c_2 \cdot \overset{\sim}{g} (k_x , k_y) }

Faltung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x,y) = f(x,y) \otimes g(x,y) }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overset{\sim}{h} (k_x , k_y) = \overset{\sim}{f} (k_x , k_y) \cdot \overset{\sim}{g} (k_x , k_y) }

Verschiebung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x + \Delta x , y + \Delta y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{f} (k_x , k_y) \cdot e^{j 2 \pi (\Delta x k_x + \Delta y k_y)} }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overset{\sim}{f} (k_x + \Delta k_x , k_y + \Delta k_y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} f (x , y) \cdot e^{j 2 \pi (\Delta k_x x + \Delta k_y y)} }

Drehung:

  • Drehe ich das Signal im Zeitbereich, dreht sich in gleicher Weise das Spektrum mit
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x,y) = f(x',y') = f(x \cdot \cos \alpha + y \cdot \sin \alpha , -x \cdot \sin \alpha + y \cdot \cos \alpha) }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overset{\sim}{f'}(k_x,k_y) = \overset{\sim}{f}(k_x',k_y') = \overset{\sim}{f}(k_x \cdot \cos \alpha + k_y \cdot \sin \alpha , -k_x \cdot \sin \alpha + k_y \cdot \cos \alpha) }

Ähnlichkeit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(ax,by) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \frac{1}{|a \cdot b|} \cdot \overset{\sim}{f} \left( \frac{k_x}{a} , \frac{k_y}{b} \right) }

Parselval'sches Theorem:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int \int |f(x,y)|^2 dx dy = \int \int | \overset{\sim}{f} (k_x,k_y)|^2 dk_x dk_Y }

Separierbarkeit:

  • wenn sich eine Funktion in ihren Abhängigkeiten separieren lässt, kann die Transformierte ebenfalls separat ermittelt werden
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x,y) = f_1(x) \cdot f_2(y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{f_1} (k_x) \cdot \overset{\sim}{f_2} (k_y)}

Wichtige Funktionen

Dirac-Stoß:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta (x,y) = \begin{cases} \infty, & \text{wenn } x=y=0 \\ 0, & \text{sonst} \end{cases} }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int \int \delta (x,y) dx dy = 1 }
  • Ausblendeigenschaft:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int \int f(x,y) \delta (x-x_0 , y-y_0) dx dy = f(x_0 , y_0) }
  • Foriertransformierte:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta (x,y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} 1 }

Liniensingularitäten:

  • als Liniensingularität wird eine Linie in x- oder y-Richtung definiert
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta_x (x,y) = \delta(x) \cdot 1(y) }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta_y (x,y) = \delta(y) \cdot 1(x) }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta (x,y) = \delta_x(x,y) \cdot \delta_y(x,y) = \delta (x) \cdot \delta (y) }
  • Transformierte dazu sind:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta_x (x,y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \delta_{k_y} (k_y , k_x) }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta_y (x,y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \delta_{k_x} (k_x , k_y) }

Projektions-Schnitt-Theorem:

  • Ein Schnitt durch ein 2D-Signal kann durch Multiplikation mit einer Liniensingularität erfolgen:
  • Schnitt entlang der y-Achse: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(0,y) = f(x,y) \cdot \delta (x) = f(x,y) \cdot \delta_x (x,y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{f} (k_x , k_y) \otimes \delta_{k_y} (k_x , k_y) }
  • für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_y = } fest erfolgt eine Integration in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_x } -Richtung, d.h. eine Projektion auf die die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_y } -Achse

1. Aufgabe

Ermitteln Sie die Ergebnisse der folgenden Faltung !
2DSys-Aufgabe 1.png
2D-ST-Dreieck und Kreis.png 2DSys-Aufgabe 1-Faltung.png

2. Aufgabe

Beschreiben Sie das resultierende Spektrum einer Gitterstruktur (20 µm helle, 20 µm dunkle Streifen im Bild, die um 45 ° zu den Koordinatenachsen gedreht sind) bei Abtastung mit einer CCD-Matrix mit quadratischem Pixelraster von 11 µm * 11 µm Pixelabstand und einer Pixelappertur von 8 µm * 8 µm.
2DSys-Aufgabe 2.png
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int \int f(x,y) \cdot f_{AP} (x,y) dx dy } ist schwer zu transformieren, deswegen nutzt man ein Abtastgitter
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underbrace {\underbrace {f(x,y) \otimes f_{AP} (x,y)}_{\text{kont. Funktion}} \cdot \text{Abtastgitter}}_{\text {wieder diskrete Funktion}} }
ohne Thumbnail-Rahmen

3. Aufgabe

Wie kann man ein Schachbrettmuster mathematisch beschreiben? Wie sieht das zugehörige 2-D-Ortsfrequenzspektrum aus?
  • Bei einem Schachbrettmuster ist die Separierbarkeit anwendbar
  • mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta x } als Breite eines Feldes ergibt sich:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x,y) = f_1 (x) \cdot f_2 (y) }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_1(x) = \operatorname{rect} \left( \frac{x}{\Delta x} \right) \otimes \sum_{i} \delta (x - \Delta xi) \cdot (-1)^i }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_2(y) = \operatorname{rect} \left( \frac{x}{\Delta x} \right) \otimes \sum_{j} \delta (x - \Delta xj) \cdot (-1)^j }

//Bild

4. Aufgabe

Beschreiben Sie die Pixelapertur und ihre Wirkung auf das abgetastete Bild bei Interline-Transfer-Matrizen, die im Frame- bzw. Field-Mode betrieben werden!
Pixelraster 11 µm * 11 µm; Pixelapertur = 1 in einem Rechteck H = 6 µm * B = 10 µm außerhalb = 0.
2D-ST-Aufgabe 4.png
  • im Frame Integration Mode werden abwechseln gerade und ungerade Zeilen ausgelesen
  • im Filed Integration Mode werden immer zwei übereinander liegende Pixel in einen Registerplatz geschoben
  • beachte auch interlaced und non-interlaced Variante
  • ändert aber nichts am Ergebnis
  • im Frame Integration Mode bleibt die Pixelappertur (PA) wie gewohnt
  • im Field Integration Mode ensteht durch das ausschieben zweier Pixel in ein Register eine unterbrochene PA
  • diese entspricht einem Rechteck, gefaltet mit zwei Dirac-Stößen
  • im Frequenzbereich entspricht das einer si-Funktion multipliziert mit einer cos-Funktion
  • die si-Funktion bildet hierbei die Einhüllende für den Cosinus

5. Aufgabe

Beschreiben Sie die resultierende Pixelapertur bei einem Zeilenscanner (Bewegter Zeilensensor v = 1 m/s)! Pixelabstand 18 µm, Pixelapertur 12 µm * 12 µm, Abtastraster ta=20 µs; Integrationszeit=10 µs.
2DSys-Aufgabe 5.png
  • die Gesammtappertur ergibt sich aus der Pixelappratur gefaltet mit einem Rechteck in y-Richtung der Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v \cdot t_{int} }

6. Aufgabe

Wie kann man ein Sechseckabtastraster systemtheoretisch beschreiben?
ohne Thumbnail-Rahmen
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x,y) \otimes f_{AP} (x,y) \cdot \text{Abtastgitter} {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{f} (k_x , k_y) \cdot \overset{\sim}{f_{AP}} (k_x , k_y) \otimes \overset{\sim}{f} (\text{Abtastgitter}) }
  • Abtastgitter wird im folgenden mit AG abgekürzt
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} AG & = AG_1 + AG_2 \\ & = \sum_i \sum_j \delta (x+i2 \sqrt{3} , y + j2) + \sum_i \sum_j \delta (x+i2 \sqrt{3} + \sqrt{3} , y + j2 + 1) \end{align} }
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AG {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{f} (AG) }
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \overset{\sim}{f}(AG) & = \sum_i \sum_j \delta \left( k_x + i \frac{1}{2 \sqrt{3}} , k_y + \frac{j}{2} \right) + \sum_i \sum_j \delta \left( k_x + i \frac{1}{2 \sqrt{3}} , k_y + \frac{j}{2} \right) \cdot e^{j 2 \pi (k_x \sqrt{3} + k_y 1)} \\ & = \sum_i \sum_j \delta \left( k_x + i \frac{1}{2 \sqrt{3}} , k_y + \frac{j}{2} \right) \cdot \left( 1+e^{j2\pi (k_x \sqrt{3} + k_y)} \right) \end{align} }
  • mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_x = \frac{i}{2 \sqrt{3}} } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_y = \frac{j}{2} } ergibt sich:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 + e^{j2 \pi \left( \frac{i}{2 \sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} + \frac{j}{2} \right)} = 1 + e^{j \pi (i+j)} }
ohne Thumbnail-Rahmen

7. Aufgabe

Wie kann man das Abtastverhalten von Einchip-Farbsensoren erfassen? Überlegen Sie eine Beschreibung für das Y-Signal bei Streifensensoren ( R G B R G B ... ), wenn ein unbuntes Bild angeboten wird? Wie wird eine Objektszene, die nur Rot-Anteile enthält, abgebildet?

Digitale Filter

8. Aufgabe

Beschreiben Sie im Orts- und im Ortsfrequenzbereich die Wirkung eines 3 * 3 Boxoperators, der auf dem im Speicher abgelegten Bild arbeitet. Vergleichen Sie mit einem theoretischen Boxoperator im Originalbild (z.B. unscharfe Abbildung bei quadratischer Blende).

9. Aufgabe

Beschreiben Sie die Wirkung eines mehrfach angewandten Boxoperators (2*, 3*, 4*, 5*,...) im Orts- und im Ortsfrequenzbereich !
Die Anwendung eines Boxoperators kann durch eine Faltung im Ortsbereich beschrieben werden. Da die Faltung die Eigenschaft der Assoziativität aufweist, können mehrfache Faltungen auch ausgerechnet werden bevor sie Auf das Bild angewendert werden.
Im Ortsbereich: Rechteck, Dreieck, ..., x-mal so breites gaußänliches Filter
Im Frequenzbereich: Si, Si^2, ..., Si^x sehr schmaler Gauß

10. Aufgabe

Beschreiben Sie im Orts- und im Ortsfrequenzbereich die Wirkung eines Gradientenoperators
1 0 -1
1 0 -1
1 0 -1
Da der Operator separierbar ist lassen sich die Wirkeungen in die verschiedenen Richtungen einzeln betrachten
Im Orstbereich:
  • Gradient in x-Richtung [1 0 -1]
  • Summe in y-Richtung [1 1 1]'
Im Frequenzbereich:
  • Hochpass in Kx-Richtung
  • Tiefpass in Ky-Richtung

11. Aufgabe

Beschreiben Sie die Wirkung des Gradientenoperators (1 0 -1) auf einem Bild mit hellem Quadrat (=1) auf dunklem Untergrund (=0) !
 Bild =
    0     0     0     0     0     0     0     0     0
    0     0     0     0     0     0     0     0     0
    0     0     0     0     0     0     0     0     0
    0     0     0     1     1     1     0     0     0
    0     0     0     1     1     1     0     0     0
    0     0     0     1     1     1     0     0     0
    0     0     0     0     0     0     0     0     0
    0     0     0     0     0     0     0     0     0
    0     0     0     0     0     0     0     0     0
 
 OP_Grad =
    1     0    -1
 
 >> convn(Bild,OP_Grad,'valid')
 
 ans =
    x     0     0     0     0     0     0     0     x
    x     0     0     0     0     0     0     0     x
    x     0     0     0     0     0     0     0     x
    x     0    -1    -1     0     1     1     0     x
    x     0    -1    -1     0     1     1     0     x
    x     0    -1    -1     0     1     1     0     x
    x     0     0     0     0     0     0     0     x
    x     0     0     0     0     0     0     0     x
    x     0     0     0     0     0     0     0     x

Rauschen

12. Aufgabe

Erläutern Sie die wichtigsten Rauschquellen bei CCD-Bildaufnahmesystemen!
Rauschart Ort Verteilung Zusammenhang
Photonenrauschen Silizium Binomial- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma = \sqrt N}
Dunkelsignalrauschen Silizium Poisson- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma = \sqrt N_D}
Transferrauschen Silizium Poisson- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma = \sqrt {2n \epsilon N}}
thermisches Rauschen der FET Ausgangsverstärker der CCD-Matrix Gauß- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma = \sqrt \frac{kT}{C}}
thermisches Rauschen der Elektronik Analog-Elektronik Gauß- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma = \sqrt {kT}}
Taktdurchgriffe, Phasenjitter, Klemmfehler, Netzbrummen Analog-Elektronik Gauß-
Digitalisierungsrauschen ADU Gleich- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma = \sqrt \frac{1}{12} LSB}
  • Festmusterrauschen
  • Lichtdurchlässigkeit der Optik -> Staub
  • Inhomogeneitäten im Halbleiter
  • optische elemente auf dem Pixel
  • Zeilenklemmrauschen

13. Aufgabe

Wie kann man Rauschen vermindern? Für welche Rauschanteile greift Ihr Vorschlag?
  • thermisches Rauschen: niedrige Temperatur
  • Photonenrauschen: lässt sich wegmitteln
  • Festmusterrausche: wenn Muster bekannt ist, kann es abgetogen werden

14. Aufgabe

Was geschieht mit den örtlichen und zeitlichen Rauschanteilen bei der Subtraktion von zwei Bildern der gleichen Szene?
Mittelwert verschwindet, Streuung steig

15. Aufgabe

Erläutern Sie anhand des Zusammenhanges zwischen Bildspektrum und 1-D-Spektrum auf dem Übertragungskanal den Einfluß eines asynchronen Störers!

16. Aufgabe

Wie wirkt ein Tiefpaß im 1-D-Signalweg auf das Spektrum des abgetasteten, übertragenen und im Speicher abgelegten Bildes?

Reale CCD-Bauelemente - CCD-Kamera

17. Aufgabe

Nennen Sie Abweichungen vom idealen Verhalten bei realen CCD-Bauelelementen bzw. CCD-Kameras. Wie kann man diese Effekte erfassen und wie kann man sie korrigieren?

18. Aufgabe

Welcher Zusammenhang besteht zwischen den in Aufg. 17 gefundenen relevanten Parametern und einer sinnvollen Auflösung eines ADU in einer Kamera ?

19. Aufgabe

Wie kann ein in Aufg. 17 entwickelter Korrekturalgorithmus umgesetzt werden (Software, Hardware) ?

Optische Abbildung

20. Aufgabe

Bestimmen Sie die beugungsbedingte Punktverwaschungsfunktion eines Objektives bei Abbildung aus dem Unendlichen ! (f=50 mm, k=4, \lambda=550nm)
Hinweis: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & J_n(x) = \frac{(-j)^n}{\pi}\int\limits_0^\pi e^{jx \cos\Phi} \cos n\Phi d \Phi\\ & xJ_1(x) = \int xJ_0(x) dx \end{align}}

21. Aufgabe

Aus welchen Anteilen setzt sich die Punktverwaschungsfunktion bei einer realen optischen Abbildungsanordnung zusammen ? Wie kann man die Anteile beschreiben ?

22. Aufgabe

Bestimmen Sie die notwendige Defokussierung, wenn damit eine Tiefpaßfilterung (Antialiasing) mit einer 3dB-Grenzfrequenz von 20 LP/mm erreicht werden soll !

23. Aufgabe

Wie kann man das Übertragungsverhalten eines optischen Abbildungssystems messen?

24. Aufgabe

Skizzieren Sie das Grundprinzip einer optischen Anordnung zur Generierung des Betrages des Ortsfrequenzspektrums einer transparenten Struktur!

25. Aufgabe

Mit inkohärenter monochromatischer Beleuchtung sollen Gitterstrukturen (Gewebe) vermessen werden. Die Gitterstrukturen befinden sich in der Blendenebene eines Punktabbildungssystems. Die Brennweite beträgt f = 100 mm. Das Abbildungssystem besteht aus einer Tandemoptik.
2DSys-Aufgabe 25.png
Bild: Abbildungssystem zur Vermessung von Gitterstrukturen
Die CCD-Matrix mit 752 * 582 Pixel hat einen Pixelabstand von 11 µm * 11 µm. Zur Erfassung der Ergebnisstruktur sollen die Peakabstände d > 20 Pixel und d < 200 Pixel sein.
Welche Gitterkonstanten (Bereich von - bis) können vermessen werden ?

Andere Abbildungssysteme

26. Aufgabe

Geben Sie die Abbildungseigenschaften bei Röntgenabbildung (Abbildungsmaßstab, Schwächung) an !
Datei:2D-ST-Intensität-Röntgen.png
Schwächung beim Materialdurchgang
Datei:2D-ST-Abbildung-Röntgen.png
Definition Abbildungsmaßstab


Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S = \tau = e^{- \mu \cdot d} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} I & = I_0 \cdot S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 \cdots \\ & = I_0 \cdot e^{- \int_0^d \mu (\lambda , s) ds} \end{align} }

  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu (x) } ist material- und wellenlängenabhängig
  • zurückgelegter Weg d und damit die Schwächung sind winkelabhängig








  • Ausbreitung der Röntgenstrahlung in Materie und Vakuum geradlinig
  • kann deshalb durch Zentralprojektion beschrieben werden
  • Abbildungsmaßstab: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta ' = \frac{z_q}{z_q - z_0} }
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta ' > 1 } gilt damit immer





27. Aufgabe

Erläutern Sie das Grundprinzip von Tomografieverfahren !
Aufbau Tomographieverfahren
Prinzip Tomographieverfahren


  • Röntgenstrahlen werden beim Durchgang durch Materie gedämpft (Gleichung siehe Aufgabe 26)
  • logarithmiertes Verhältnis, stellt Projketion der Materialeigenschaften längs des Weges dar: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ln \left( \frac{I(x,y)}{I_0} \right) = \int_{(x_0,y_0,z_0)}^{(x,y,z)} \mu (\lambda , x,y,z) ds }
  • Tomographieverfahren bietet Möglichkeit Information über Materialeigenschaften in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x,y,z) } bereit zu stellen
  • Vereinfachungen:
    • Strahlungsquellen mit paralleler Ausstrahlung
    • Strahlungsquellen und Empfänger parallel zu einander
    • Strahlungsquellen und Empfänger mehrfach vorhanden oder gemeinsam um Objekt gedreht
    • ausgesendete Strahlung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_0} soll auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x' } konstant sein




  • Logarithmus der empfangenen Strahlung entspricht Projektion der Materialeigenschaften entlang des Weges Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y' }
  • heißt soviel wie, das eine Projektion im Ortsbereich einem Schnitt durch den Ortsfrequenzbereich entspricht
  • Verteilung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu (x,y) } kann somit aus vielen Projektionen/Schnitten gewonnen werden: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_{proj} (x') = \ln \left( \frac{I(x')}{I_0} \right) = \int \mu (x',y') dy' }
  • Projektionen werden jeweils um den Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} gedreht und im Ortsfrequenzbereich eingetragen
  • solange durchführen bis Ortsfrequenzbereich hinreichend dicht belegt ist
  • 2D-Rücktransformation liefert dann gewünschte Verteilung in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x,y)-} Ebene
  • 3D-Abbildung durch Hinzunahme der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z-} Koordinate