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== Allgemeines zur Fouriertransformation ==
 
== Allgemeines zur Fouriertransformation ==
   
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# Für die Autoren:                       #
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# Für die Autoren:                           #
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#                                         #
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#                                             #
# Fourierzeichen: {\circ\!\!-\!\!\bullet} #
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# Fourierzeichen: {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} #
#                                         #
+
#                                             #
# Schlange: \overset{\sim}{f}             #
+
# Schlange: \overset{\sim}{f}                 #
#                                         #
+
#                                             #
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* periodisches Signal: diskrete Verteilung der Signalenergie über der Frequenz (Fourierreihe)
 
* periodisches Signal: diskrete Verteilung der Signalenergie über der Frequenz (Fourierreihe)
 
* aperiodisches Signal: kontinuirliches Frequenzspektrum (Fourierintegral)
 
* aperiodisches Signal: kontinuirliches Frequenzspektrum (Fourierintegral)
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=== 2-Dimensional ===
 
=== 2-Dimensional ===
   −
<math>f(x,y) {\circ\!\!-\!\!\bullet} \overset{\sim}{f} (k_x, k_y)</math>
+
<math>f(x,y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{f} (k_x, k_y)</math>
   −
<math>\overset{\sim}{f} (k_x, k_y) {\circ\!\!-\!\!\bullet} \overset{\sim}{F} [f(x,y)]</math>
+
<math>\overset{\sim}{f} (k_x, k_y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{F} [f(x,y)]</math>
    
==== Fourierreihe ====
 
==== Fourierreihe ====
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=== Eigenschaften der Fouriertransformation ===
 
=== Eigenschaften der Fouriertransformation ===
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jegliche Herleitungen zu diesem Abschnitt sind in der Vorlesung oder im Skript zu finden
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'''Linearität:'''
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:* es gilt das Superpositionsprinzip
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:* daraus ergibt sich das nur lineare Zusammenhänge beschreibbar sind
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: <math> f(x,y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{f} (k_x , k_y) </math>
 +
: <math> g(x,y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{g} (k_x , k_y) </math>
 +
: <math> c_1 \cdot f(x,y) + c_2 \cdot g(x,y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} c_1 \cdot \overset{\sim}{f} (k_x , k_y) + c_2 \cdot \overset{\sim}{g} (k_x , k_y) </math>
 +
 +
'''Faltung:'''
 +
: <math> h(x,y) = f(x,y) \otimes g(x,y) </math>
 +
: <math> \overset{\sim}{h} (k_x , k_y) = \overset{\sim}{f} (k_x , k_y) \cdot \overset{\sim}{g} (k_x , k_y) </math>
 +
 +
'''Verschiebung:'''
 +
: <math> f(x + \Delta x , y + \Delta y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{f} (k_x , k_y) \cdot e^{j 2 \pi (\Delta x k_x + \Delta y k_y)} </math>
 +
: <math> \overset{\sim}{f} (k_x + \Delta k_x , k_y + \Delta k_y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} f (x , y) \cdot e^{j 2 \pi (\Delta k_x x + \Delta k_y y)} </math>
 +
 +
'''Drehung:'''
 +
:* Drehe ich das Signal im Zeitbereich, dreht sich in gleicher Weise das Spektrum mit
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: <math> f'(x,y) = f(x',y') = f(x \cdot \cos \alpha + y \cdot \sin \alpha , -x \cdot \sin \alpha + y \cdot \cos \alpha) </math>
 +
: <math> \overset{\sim}{f'}(k_x,k_y) = \overset{\sim}{f}(k_x',k_y') = \overset{\sim}{f}(k_x \cdot \cos \alpha + k_y \cdot \sin \alpha , -k_x \cdot \sin \alpha + k_y \cdot \cos \alpha) </math>
 +
 +
'''Ähnlichkeit:'''
 +
: <math> f(ax,by) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \frac{1}{|a \cdot b|} \cdot \overset{\sim}{f}  \left( \frac{k_x}{a} , \frac{k_y}{b} \right) </math>
 +
 +
'''Parselval'sches Theorem:'''
 +
: <math> \int \int |f(x,y)|^2 dx dy = \int \int | \overset{\sim}{f} (k_x,k_y)|^2 dk_x dk_Y </math>
 +
 +
'''Separierbarkeit:'''
 +
:* wenn sich eine Funktion in ihren Abhängigkeiten separieren lässt, kann die Transformierte ebenfalls separat ermittelt werden
 +
: <math> f(x,y) = f_1(x) \cdot f_2(y) {\;\circ\!\!-\!\!\bullet\;} \overset{\sim}{f_1} (k_x) \dot \overset{\sim}{f_2} (k_y)</math>
    
== 1. Aufgabe ==
 
== 1. Aufgabe ==
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